Transporte en la Programación Lineal

 

El transporte juega un papel crucial en la economía de las empresas, ya que contar con un sistema de transporte seguro y económico es esencial para su sostenibilidad. En las cadenas de suministro, una de sus características clave es el traslado de productos desde múltiples puntos de origen hacia diferentes destinos demandantes, procurando siempre minimizar los costos asociados (Hidalgo, 2015). Cuando se analizan escenarios con varios orígenes y destinos, el objetivo principal es satisfacer las necesidades de los clientes, diseñando rutas eficientes que conecten fuentes y destinos al menor costo posible, pero sin comprometer la calidad de los productos ni del servicio de distribución. En esencia, se busca reducir al máximo el costo total de distribuir las unidades producidas (Lieberman, 2018).

Concepto

Inicialmente aplicada en los Sistemas de Transporte, su efectividad permitió que esta metodología se extendiera a otros contextos. En estos casos, aunque no se trate de transporte físico de bienes, las relaciones lineales presentes y la estructura del problema se ajustan a las características de un Modelo de Transporte.

Este modelo, conocido como Modelo Lineal de Transporte, es una variante específica dentro de la programación lineal. Sus principales particularidades son:
a) Los coeficientes en las restricciones son siempre uno o cero.
b) Para resolver el modelo, la cantidad ofertada debe coincidir exactamente con la cantidad demandada. La Función Objetivo en el Modelo Lineal de Transporte consiste en la representación matemática de un objetivo específico, ya sea maximizar o minimizar un resultado. En su aplicación clásica, esta función busca minimizar los costos totales asociados al transporte. Los puntos de origen, desde los cuales se envían los bienes, se identifican con el subíndice i mientras que los destinos, a los que llegan los bienes, se detonan con el subíndice 

$j$

j la estructura general de la función se expresa como:

$i$

$$\text{Minimizar}\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n{C}_{ij}{X}_{ij}$$

Donde:

• $X_{ij}$ representa las variables de decisión, que son los valores numéricos determinados al resolver el modelo. Estas variables indican la cantidad de bienes transportados desde el origen $i$ hasta el destino $j$.
• $C_{ij}$ son los costos unitarios asociados al transporte entre el origen $i$ y el destino $j$.

El modelo permite trabajar con cualquier número de orígenes ($m$) y destinos ($n$), adaptándose a las necesidades del sistema de transporte en análisis.

Ejemplo de problema de transporte

Descripción del problema:
Una empresa necesita transportar un producto desde tres plantas de producción (orígenes) hacia tres almacenes de distribución (destinos). Las capacidades de las plantas, las demandas de los almacenes y los costos de transporte unitarios son los siguientes:

Capacidades de los orígenes (ofertas):

• Planta 1: 50 unidades
• Planta 2: 60 unidades
• Planta 3: 50 unidades

Demandas de los destinos:

• Almacén A: 30 unidades
• Almacén B: 80 unidades
• Almacén C: 50 unidades

Costos de transporte ($C_{ij}$) (en unidades monetarias):

Origen/Destino	Almacén A	Almacén B	Almacén C	Oferta
Planta 1	4	6	8	50
Planta 2	2	4	5	60
Planta 3	3	6	7	50
Demanda	30	80	50

1. Verificar el equilibrio entre oferta y demanda:
   La oferta total ($50+60+50=160$) es igual a la demanda total ($30+80+50=160$). No se necesitan ajustes.

2. Solución inicial con el Método de la Esquina Noroeste:
   Asignaciones iniciales basadas en la esquina superior izquierda:

   • $X_{11}=30$ (satisface la demanda de $A$ con oferta restante de $20$ en $P1$).
   • $X_{12}=20$ (satisface $P1$ restante, demanda de $B$ ahora es $60$).
   • $X_{22}=60$ (satisface toda la demanda de $B$).
   • $X_{33}=50$ (satisface toda la demanda de $C$).

   Tabla inicial con asignaciones:

   Origen/Destino	Almacén A	Almacén B	Almacén C	Oferta
   Planta 1	30	20	0	50
   Planta 2	0	60	0	60
   Planta 3	0	0	50	50
   Demanda	30	80	50

3. Cálculo del costo total inicial:

   • $X_{11}\cdot C_{11}=30\cdot 4=120$
   • $X_{12}\cdot C_{12}=20\cdot 6=120$
   • $X_{22}\cdot C_{22}=60\cdot 4=240$
   • $X_{33}\cdot C_{33}=50\cdot 7=350$

   Costo total inicial: $120+120+240+350=830$.

4. Optimización (opcional):
   Se puede usar el método de transporte (por ejemplo, el método MODI) para verificar si esta solución es óptima o mejorarla.

Este ejercicio cubre desde la formulación hasta la solución inicial y puede extenderse para optimización si es necesario.